آیا کامپیوترها می‌توانند در پژوهش‌های ریاضی، جایگزین انسان‌ها شوند؟

به گزارش بولتن نیوز، شاید اولین نتیجه اصلی که توسط یک کامپیوتر نشان داده شده مربوط به ۴۰ سال پیش باشد، که قضیه ۴ رنگ را اثبات می‌کند، با این ادعا که هر نقشه‌ای (با شرایط معقول و مشخص) می‌تواند با فقط ۴ رنگ مجزا رنگ شود. این مطلب اولین بار در سال ۱۹۷۶ توسط کامپیوتر به اثبات رسید، هرچند معایبی نیز بعداً پیدا شدند و اثبات اصلاح شده آن تا سال ۱۹۹۵ ارائه نشد.

در سال ۲۰۰۳، توماس هیلز از دانشگاه پیتزبورگ، اثباتی مبتنی بر کامپیوتر از حدس کپلر منتشر کرد و در آن نشان داد که روش آشنا برای انباشته کردن پرتقال‌ها روی همدیگر در سوپرمارکت، بهینه ترین حالتی است که از نظر استفاده موثر از فضا می‌توان کره‌هایی با قطرهای هم اندازه را روی هم قرار داد. با اینکه هیلز اثبات خود را در سال ۲۰۰۳ منتشر کرد، بسیاری از ریاضیدانان راضی نبودند چون این اثبات با ضمیمه‌ای از ۲ گیگابایت خروجی کامپیوتری (مقدار زیادی از محاسبات در زمان) همراه بود، و برخی از محاسبات آن قابل تصدیق نبود. در پاسخ، هیلز اثبات رسمی مورد تأیید کامپپیوتر را در سال ۲۰۱۴ تولید کرد.

بیش از چهار رنگ در این تصویر مورد نیاز نیست تا مطمئن شویم که هیچ دو شکلی که کنار هم قرار گرفته اند همرنگ نیستند.

دستاورد نوپا

آخرین توسعه در امتداد این خط، خبری است که این ماه در مجله نیچر از یک اثبات کامپیوتری برای چیزی که به نام مسئله اعداد سه گانه فیثاغورس بولی شناخته می‌شود منتشر شده است. در اینجا ادعا می شود که اعداد صحیح از ۱ تا ۷۸۲۴ می‌توانند به رنگ قرمز یا آبی باشند، با این ویژگی که هیچ مجموعه‌ای از سه عدد صحیح a ، b و c که به صورت a2+b2=c2 برآورد می شوند(قضیه فیثاغورس که در آن a، b و c اضلاع یک مثلث قائم الزاویه را تشکیل می دهند)، همرنگ نباشند. این موضوع برای اعداد صحیح بین ۱ تا ۷۸۲۵ قابل انجام نیست.

تصویر قضیه فیثاغورس برای یک مثلث قائم الزاویه

حتی برای اعداد صحیح کوچک هم پیدا کردن رنگ آمیزی غیر تک رنگ مشکل است. به عنوان مثال، اگر پنج قرمز رنگ باشد یکی از اعداد ۱۲ یا ۱۳ باید حتماً آبی باشد، تا ۵^۲+۱۲^۲=۱۳^۲؛ و یکی از اعداد سه یا چهار هم باید آبی باشد تا ۳^۲+۴^۲=۵^۲ . هر انتخابی محدودیت های بسیاری دارد.

همانطور که معلوم است، تعداد راه‌های ممکن برای رنگ کردن اعداد صحیح از یک تا ۷۸۲۵ بسیار زیاد و غول آساست – بیش از ۱۰^۲۳۰۰ (عدد ۱ با ۲۳۰۰ تا صفر در جلوی آن). این عدد خیلی زیاد است، به مراتب بیشتر از تعداد ذرات بنیادی در جهانِ قابل مشاهده است که صرفاً ۱۰^۸۵ تاست.

اعداد بین ۱ تا ۷۸۲۴ می‌توانند به رنگ قرمز یا آبی باشند در حالی که هیچ یک از اعداد سه گانه aوbو c در قضیه فیثاغورش همرنگ نباشند. یک مربع سفید رنگ می‌تواند قرمز باشد یا آبی باشد.

محققان توانستند با استفاده از تقارن‌های مختلف و خواص نظریه اعداد این عدد را به شدت کاهش داده و به یک تریلیون برسانند. بررسی کامپیوتری هر یک از آن یک تریلیون حالت، مدت دو روز برای ۸۰۰ پروسسور قوی ابرکامپیوتر دانشگاه تگزاس طول می‌کشد. در حالی که احتمال رسیدنِ این نتایج به برنامه‌های کاربردی مستقیم بعید به نظر می‌رسد، اما توانایی حل چنان مسائل سختی در زمینه رنگ آمیزی آن را به سمت مفاهیمی برای رمزگذاری و برای امنیت راهبرد می‌کند.

محاسبه کامپیوتری تگزاس، که برآورد ما در آن ۱۰^۱۹ عملیات محاسباتی است، هنوز بزرگترین محاسبه کامپیوتری ریاضی نیست. یک محاسبه کامپیوتری از ارقام عدد پی به توان ۲ (pi^۲) توسط ما و دو نفر از محققان IBM دو برابر آن عملیات محاسباتی انجام داد.

جستجوی بسیار بزرگ اینترنتی مرسن اول (GIMPS)، یک شبکه جهانی از کامپیوترهاست که برای بزرگترین اعداد اول شناخته شده جستجو می‌کند، به طور معمول ۴۵۰ تریلیون عملیات محاسباتی در هر ثانیه انجام می‌دهد، که به این معنی است که در هر شش ساعت از تعداد محاسبات تگزاس بالا می‌زند.

در نتایج کامپیوتری، محاسبه تگزاس به عنوان یک محاسبه ریاضی مثل آب خوردن است اما به هر حال ۲۰۰ ترابایت، ۲ X 1014 بایت، یا ۳۰۰۰۰ بایت برای هر انسانی در روی زمین گیج کننده است. چطور می توان چنین خروجیِ بزرگی را بررسی کرد؟ خوشبختانه برنامه اعداد سه گانه فیثاغورس بولی (در تصویر بالا نمایش داده شده) راه حلی ایجاد کرده است که با برنامه بسیار کوچکتری قابل بررسی است.

این شبیه به فاکتور گرفتن عدد بسیار بزرگ c به دو فاکتور کوچکتر a وb توسط کامپیوتر است که در آن c = a X b می‌باشد. اغلب یافتن دو فاکتور a و b بسیار دشوار است، ولی وقتی پیدا شدند، کار بسیار ساده‌ای است که آنها را در هم ضرب کنیم و مطمئن شویم که آن‌ها کار می‌کنند.

آیا ریاضیدانان منسوخ‌ شده‌اند؟

این توسعه به چه معنی است؟ آیا ریاضیدانان محقق هم به زودی به صفوف اساتید بزرگ شطرنج، قهرمانان در معرض خطر، کارمندان خرده فروشی، رانندگان تاکسی، رانندگان کامیون، رادیولوژیست‌ها و حرفه‌های دیگری خواهند پیوست که به واسطه پیشرفت پرسرعت تکنولوژی تهدید به منسوخ شدن گشته‌اند؟ نه کاملاً. ریاضیدانان مثل خیلی از متخصصان دیگر، بخش بزرگی از محاسبات را به عنوان حالت جدیدی از تحقیقات ریاضی پذیرفته‌اند، توسعه‌ای که به عنوان ریاضیات تجربی شناخته شده و دارای مفاهیم گسترده‌ای است.

ریاضیات تجربی دقیقاً چیست؟ در بهترین تعریف، ریاضیات تجربی به عنوان حالتی از تحقیق تعریف شده که کامپیوترها را به عنوان یک آزمایشگاه به خدمت می‌گیرد، به همان معنایی که یک فیزیکدان، شیمیدان، زیست شناس یا مهندس یک آزمایش ترتیب می‌دهد تا به عنوان مثال، بینش و بصیرت پیدا کند، آزمون کند و حدس‌های غلط را باطل کند، و نتایج به دست آمده با استفاده از روش‌های سنتی را به تأیید برساند.

به یک معنا، هیچ چیز بنیادی جدیدی (اساساً جدیدی) در متدلوژی تجربی تحقیق ریاضی وجود ندارد. در قرن سوم پیش از میلاد، ریاضیدان بزرگ یونانی، ارشمیدس نوشت :

” ساده تر است که با این روش (تجربی)، اثباتِ پاسخ سوالات را از جایی بیاوریم که قبلا به آن رسیده ایم، بدون نیاز به هیچ دانش جدیدی. "

مشهور است که گالیله یک بار نوشت :

” درک همه حقایق وقتی کشف شدند راحت است؛ نکته این است که آنها را کشف کنیم.”

کارل فریدریش گاوس، فیزیکدان و ریاضیدان قرن ۱۹، اغلب مشغول محاسباتی بود که انگیزه بخشِ اکتشافات قابل ملاحظه او بودند. او یک بار نوشت :

” من جواب را دارم ولی هنوز نمی‌دانم چطور باید به (اثبات) آن برسم.”

ریاضیات تجربیِ مبتنی بر کامپیوتر، قطعاً تکنولوژی را همراه با خود دارد. با گذشت هر سال، پیشرفت سخت افزار کامپیوتر با قانون مور، و بسته‌های نرم افزار محاسبات ریاضی مثل Maple ، Mathematica ، Sage و چیزهای دیگر قوی و قوی‌تر می‌شوند.

در حال حاضر این سیستم‌ها انقدر قوی هستند که تقریباً بتوانند هر معادله، مشتق، انتگرال، و یا هر کار دیگری در مقطع کارشناسی را انجام دهند و حل کنند. بنابراین در حالی که اثبات‌های عادی مبتنی بر انسان هنوز هم ضروری است، کامپیوتر به ریاضیدانان برای شناسایی نظریه‌های جدید و ترسیم یک مسیر برای رسیدن به اثبات رسمی کمک می‌کند.

علاوه بر این، این قابل بحث است که در بسیاری از موارد محاسبات کامپیوتری بسیار قانع کننده‌تر از اثبات‌های مبتنی بر محاسبات انسانی هستند. نهایتاً اثبات‌های انسانی، در معرض اشتباهات، سهل انگاری، و متکی بر نتایج قبلی دیگران هستند که ممکن است نادرست باشند. اثبات اولیه اندرو وایلز از آخرین قضیه فرما بعداً معلوم شد که ناقص بوده است. این موضوع بعداً اصلاح شد.

در امتداد همین مسیر، به تازگی الکساندر یی و شیگرو کوندو ۱/۱۲ تریلیون رقم از عدد پی را محاسبه کرده است. برای این کار، آنها اول حدوداً بیش از ۱۰ تریلیون با پایه ۱۶ رقم محاسبه کردند، سپس آنها محاسبه خود را با محاسبه بخشی از پایه ۱۶ رقم در نزدیکی پایان محاسبه توسط یک الگوریتم کاملا متفاوت بررسی کرده و نتایج را با هم مقایسه کردند. آنها کاملا همسان بودند.

بنابراین کدام قابل اعتمادتر است؟ یک قضیه اثبات شده توسط انسان که در صدها صفحه طولانی نوشته شده و فقط چند نفری از ریاضیدانان دیگر آن را خوانده‌اند و جزئیاتش را تأیید کرده‌اند یا نتایج یی– کوندو؟ بیایید با این واقعیت روبرو شویم، مسلماً محاسبات کامپیوتری در بسیاری از موارد از اثبات (انسانی) قابل اعتمادتر هستند.

آینده، باردارِ چه چیزی است؟

همه نشانه‌ها حاکی از این است که در آینده قابل پیش بینی، محققانِ ریاضیدان در همزیستی محترمانه ای در کنار کامپیوترها کار خواهند کرد. در واقع هر چه این رابطه و تکنولوژی کامپیوتر کامل‌تر شود، ریاضیدانان در سپردن بخش‌های معینی از کار یک اثبات به کامپیوترها راحت‌تر خواهند بود.

این سؤال معلوم در میزگردی در ژوئن ۲۰۱۴ توسط پنج نفری که جایزه رسوخ در ریاضیات را در مراسم افتتاحیه دریافت کردند، مورد بحث قرار گرفت. ریاضیدان استرالیایی – آمریکایی ترنس تائو چیزی که در اجماع به آن رسیدند را این طور بیان کرد :

"قدرت کامپیوترها قطعاً رو به افزایش است، اما من انتظار دارم که بسیاری از ریاضیات به واسطه کار انسان‌ها با کامپیوترها (در جهت تکمیل) ادامه یابد.”

پس کتاب درسی جبر خود را دور نیاندازید. شما به آن نیاز خواهید داشت!